Åk 6–9
 

3.2 Träddiagram
Vid beräkning av sannolikheter i flera steg är det bra att illustrera dessa med hjälp av ett träddiagram. Träddiagrammet består av grenar och grenarna länst ner visar de möjliga utfallen. Nedan illustreras Exempel A från sidan 3.1 i detta avsnitt i form av ett träddiagram.



Exempel A (från sidan 3.1 i detta avsnitt)

Du slår en tärning två gånger och ska beräkna sannolikheten att slå två sexor i rad.

Försök A
Antal gynnsamma utfall: 1
Totala antalet utfall: 6

1
Sannolikhet A =
6
Försök B
Antal gynnsamma utfall: 1
Totala antalet utfall: 6

1
Sannolikhet B =
6

I ett träddiagram ser det ut så här:

Vi börjar med att visa alla möjliga utfall och beskriver dem med bokstäver.
Vi fyller nu i de sannolikheter som uppfyller kravet att vi slår två sexor i rad. Vi kan se att ett av de fyra möjliga utfallen uppfyller kravet.
Istället för text fyller vi nu i sannolikheterna för händelserna.

För att beräkna sannolikheten för att båda dessa händelser ska inträffa använder vi produktregeln. Produktregeln säger att sannolikheten för att två oberoende händelser ska inträffa är produkten av de enskilda händelserna.

 
1
 
1
 
1
 
Total sannolikhet =
·
=
0,027 = 2,7 %
 
6
 
6
 
36
 

Svar: Sannolikheten att slå två sexor i rad är ca 2,7 %





Oberoende händelse

Att en händelse är oberoende innebär att resultaten i de olika stegen inte påverkas av varandra. Vi ska nu använda oss av ett träddiagram för att beskriva en oberoende händelse i tre steg.


Exempel


Du passerar tre stycken trafikljus på väg till skolan. Vi antar att ljusen är likadant inställda vid var och ett av de tre trafikljusen. Under 60 % av tiden visar de grönt och under 40 % av tiden visar de rött. Vad är sannolikheten att du får grönt på två av dem?

Vi börjar med att visa alla möjliga utfall och beskriver dem med bokstäver. G står för grönt och R står för rött.
Vi fyller nu i de sannolikheter som uppfyller kravet att det skulle vara grönt två gånger och rött en gång. Vi kan se att tre av de åtta möjliga utfallen (2, 3 och 5) uppfyller kraven.
Istället för R och G fyller vi nu i sannolikheterna för händelserna.

Sannolikheten beräknas:

(0,6 · 0,6 · 0,4) + (0,6 · 0,4 · 0,6) + (0,4 · 0,6 · 0,6)
=
0,144 + 0,144 + 0,144 = 0,432 = 43,2 %

Svar: Sannolikheten att det är grönt två gånger och rött en gång är 43,2 %.






Beroende händelse

Att en händelse är beroende innebär att resultaten i ett steg påverkas av vilket utfallet blev i tidigare steg i träddiagrammet.


Exempel


I en urna finns 9 kulor, 3 gröna, 3 blå och 3 röda. Vilken är sannolikheten att plocka upp en av varje färg vid tre efterföljande dragningar och utan att vi lägger tillbaka kulorna?

Vi börjar med att visa alla möjliga utfall och beskriver dem med bokstäver. G står för grönt, B för blått och R står för rött.



Vi fyller nu i de sannolikheter som uppfyller kravet att vi drar en kula av varje färg. Vi kan se att sex av de 27 möjliga utfallen uppfyller kraven.


Istället för G, B och R fyller vi nu i sannolikheterna för de utfall som uppfyller kraven.



Vi kan se att i samtliga sex utfall är de ingående händelsernas sannolikheter 3/9, 3/8 och 3/7. Då kan den totala sannolikheten beräknas såhär, efter att vi har förkortat 3/9 till 1/3:

Sannolikheten för ett utfall:

1

3
·
3

8
·
3

7
= 1 · 3 · 3

3 · 8 · 7
=
3

56


Sannolikheten för sex utfall:

6 ·
3

56
= 18 /2

56 /2
=
9

28

Svar: Sannolikheten att plocka upp tre olika färger vid tre efterföljande dragningar, utan att lägga tillbaka de dragna kulorna, är 9/28.